本發明屬于地質曲面重構技術領域，具體涉及一種基于地質曲面局部復雜度的自適應混合插值方法的設計。

背景技術：

在工程地質領域中，從野外獲取地表地形、地層界限、斷層、地下水位和風化層厚度分布等各種原始地質數據大多數并不是沿規則網格分布的，而是離散不連續的數據，并且規模比較龐大，不能滿足三維建模的要求，因此需要通過選擇合適的空間插值技術對地質信息進行處理，重構地質空間界面。

基于多項式曲面擬合的方法是解決復雜地質曲面重構的最有效的方法之一。用多項式擬合方法重構曲面的困難在于如何確定多項式的階，如果我們用低階多項式擬合，在陡峭的地區將有一個較大的誤差，但如果我們使用高階多項式擬合，重構曲面將產生偽地質結構。

混合插值的目的是結合低階和高階多項式插值方法的優點，通過分析地質的復雜性，可以平衡高階和低階的權重?，F有的方法通常選取一個全局的權重值來確定高階和低階的比值。事實上，實際的地質曲面可能會在某些地區有更多的高階成分，而在其他地區有更多的低階成分。因此，全局的權重值不能適應實際的地質表面重構的要求。

W.Z.SHI采用了一種新型的權重值來結合雙線性和雙立方插值方法的混合插值方法。不同的地質曲面的復雜度是不同的，但這種方法可以通過控制在每個曲面上的權重值滿足不同類型的曲面。它比只采用線性插值法或非線性插值法更精確，即使這個權重值依賴于被內插的地形的復雜性。

然而在同一個地質曲面的不同區域的復雜度也是不同的，在一個曲面上使用一個權重值依舊會造成較大的誤差，因此需要在目前研究現狀的基礎上提出一種自適應檢測地質曲面的局部復雜度來匹配動態的權重值的方法。

技術實現要素：

本發明的目的是為了解決現有技術中基于權重值的混合多項式曲面擬合方法不能很好應用于局部復雜度變化太大的地質曲面的問題，提出了一種基于地質曲面局部復雜度的自適應混合插值方法。

本發明的技術方案為：一種基于地質曲面局部復雜度的自適應混合插值方法，包括以下步驟：

S1、構建雙線性插值函數作為混合插值的低階成分；

S2、構建雙立方插值函數作為混合插值的高階成分；

S3、根據雙線性插值函數和雙立方插值函數構建混合插值函數；

S4、在每一個插值區域中求取混合插值函數的高低階比例值ρ。

進一步地，步驟S1中雙線性插值函數表示為：

f₁(x,y)＝a₁+a₂x+a₃y+a₄xy (1)。

進一步地，步驟S2中雙立方插值函數表示為：

f₂(x,y)＝b₁+b₂x+b₃y+b₄x²+b₅xy+b₆y²+b₇x³+b₈x²y+b₉xy²+b₁₀y³ (2)。

進一步地，步驟S3具體為：

構建混合插值函數：

I＝ρA+(1-ρ)B (3)

式中A＝f₁(x,y)，表示混合插值的低階成分；B＝f₂(x,y)，表示混合插值的高階成分；ρ表示混合插值函數的高低階比例值，取值范圍為0≤ρ≤1；令I＝f^ρ(x,y)，則有：

其中

進一步地，步驟S4具體為：

定義RMSE為：

其中f和f^ρ分別表示原始數據集和混合插值后的結果，f_i,j和分別是在空間坐標(i,j)上的數據值和插值結果；

將公式(3)變換為：

I＝ρ(A-B)+B (6)

也即是：

其中a_i,i＝1,2,...,n；b_j,j＝1,2,...,m；x,y都是已知的常數；然后在每一個插值區域得到了一個唯一的高低階比例值ρ，以使得每一個構造曲面的RMSE值是最小的，具體過程為：

已知待插值利用n個已知點進行插值，則通過最小二乘法擬合曲面方程，整個插值的總誤差為：

因為A和B中所有系數為常數，則令常數(A-B)為A_i，B為B_i，對系數ρ求偏導值：

當時，Q值最小，則插值區域的RMSE值最小，因此令公式(9)等于0得到一個一元一次方程，給定A_i和B_i值后可以求得ρ值并使得RMSE值最小。

本發明的有益效果是：本發明在進行地質曲面構造插值時，增加一步對于多項式方程高低階比例控制系數ρ的計算，通過局部動態自適應的方式，針對每一個插值點計算該點的ρ值，使得在同一地質曲面上的各個局部區域能夠自適應更加精確的比例值來匹配當前區域的地質復雜度。對于地質復雜度變化較大的地質曲面，能夠很好的減少插值帶來的誤差，從而較大幅度的提高插值精度。

附圖說明

圖1為本發明提供的一種基于地質曲面局部復雜度的自適應混合插值方法流程圖。

圖2為本發明實施例的設定全局高低階比例值ρ＝0.3構建的插值曲面示意圖。

圖3為本發明實施例的設定全局高低階比例值ρ＝0.3的曲面等勢線分布圖。

圖4為本發明實施例的設定全局高低階比例值ρ＝0.7構建的插值曲面示意圖。

圖5為本發明實施例的設定全局高低階比例值ρ＝0.7的曲面等勢線分布圖。

圖6為本發明實施例的采用基于局部復雜度自適應的混合插值方法構建的插值曲面示意圖。

圖7為本發明實施例的采用基于局部復雜度自適應的混合插值方法的曲面等勢線分布圖。

具體實施方式

下面結合附圖對本發明的實施例作進一步的說明。

一個多項式擬合公式的一般描述如下：一組樣本數據點，一個該曲面可以近似估計插值點的值的函數。插值曲面通常表達如下：

其中，a_p,q表示多項式的系數，可以由上述給定的樣本數據點求得。

與單一的采用線性或非線性插值相比，混合多項式插值方式可以更好的針對地質曲面的特征調整高階與低階比例值ρ。

基于此，本發明提供了一種基于地質曲面局部復雜度的自適應混合插值方法，如圖1所示，包括以下步驟：

S1、構建雙線性插值函數作為混合插值的低階成分。

一個地質曲面包括兩個基本成分，一個是海拔變化頻率較低的區域，另一個是海拔變化頻率較高的區域。因此，將線性和非線性插值函數結合起來重建曲面是合理的，雙線性方法是最流行的線性插值方法，其函數表達式如下：

f₁(x,y)＝a₁+a₂x+a₃y+a₄xy (1)

S2、構建雙立方插值函數作為混合插值的高階成分。

雙立方插值是一種非線性插值方法，比大多數方法更有效，其函數表達式如下：

f₂(x,y)＝b₁+b₂x+b₃y+b₄x²+b₅xy+b₆y²+b₇x³+b₈x²y+b₉xy²+b₁₀y³ (2)

S3、根據雙線性插值函數和雙立方插值函數構建混合插值函數。

由于在現實世界中，地質曲面包含低頻率和高頻率，顯然使用混合插值方法比雙線性或雙立方的其中一個更好。混合插值函數表示如下：

I＝ρA+(1-ρ)B (3)

式中A＝f₁(x,y)，表示混合插值的低階成分；B＝f₂(x,y)，表示混合插值的高階成分；ρ表示混合插值函數的高低階比例值，取值范圍為0≤ρ≤1，當ρ值取0或1時，混合插值方法將成為雙立方或雙線性插值法。

令I＝f^ρ(x,y)，則有：

其中

S4、在每一個插值區域中求取混合插值函數的高低階比例值ρ。

現有技術中，高低階比例值ρ是一個需要事先給定的恒定的比率。但是即使在同一地質面上，不同的區域也存在著不同的復雜性。為了得到更精確的插值結果，我們應該在每個插補過程給高低階比例值ρ賦予不同的值。

本發明實施例中，采用最小二乘法計算高低階比例值ρ。如果給ρ指定一個值，我們可以得到混合插值系數和地質曲面的估計值，但這一結果不夠準確。如果我們能找到一種自適應率保證在每個插值區域的均方根誤差(RMSE)值最小，結果將會更準確。均方根誤差(RMSE)的定義為：

其中f和f^ρ分別表示原始數據集和混合插值后的結果，f_i,j和分別是在空間坐標(i,j)上的數據值和插值結果。

因此我們把ρ作為系數來求解，并采用最小二乘法再求解系數ρ，將公式(3)變換為：

I＝ρ(A-B)+B (6)

也即是：

其中a_i,i＝1,2,...,n；b_j,j＝1,2,...,m；x,y都是已知的常數?，F在,我們需要在每一個插值區域得到了一個唯一的高低階比例值ρ，以使得每一個構造曲面的RMSE值是最小的，具體過程為：

已知待插值利用n個已知點進行插值，則通過最小二乘法擬合曲面方程。整個插值的總誤差為：

因為A和B中所有系數為常數，則令常數(A-B)為A_i，B為B_i，對系數ρ求偏導值：

當時，Q值最小，則插值區域的RMSE值最小，因此令公式(9)等于0得到一個一元一次方程，給定A_i和B_i值后可以求得ρ值并使得RMSE值最小。

通過不同的方法重構地質曲面，可以看出各種方法的優缺點。如圖2、圖4、圖6所示分別為設定全局高低階比例值ρ＝0.3，ρ＝0.7以及采用本發明提供的基于局部復雜度自適應的混合插值方法所得到的地質曲面圖。圖中灰色的曲面是我們構建的插值曲面，黑色的曲線被稱為種子線是由已知的地質曲面的數據集構造。淺色圈代表的偽地質構造地形，深色圈反映與給定的數據集的一致程度。為區分不同的插值方法，我們同時形成了重建地質曲面的等勢線一同進行比較。圖3、圖5、圖7分別為圖2、圖4、圖6的等勢線分布圖。

由圖2和圖3可知，當設定全局高低階比例值ρ＝0.3時，意味著它有著更多的雙立方成分，所以它比雙線性插值法更準確但是也構建了一些偽地質結構。由圖4和圖5可知，當設定全局高低階比例值ρ＝0.7時，意味著它具有更多的雙線性成分，插值結果比ρ＝0.3時更光滑，可以從圖5的等勢線中可以看出；但由于高頻成分較少，插值精度不太高。由圖6和圖7可知，當采用采用本發明提供的基于局部復雜度自適應的混合插值方法時，比全局固定ρ值的插值結果更準確。同時，我們可以從圖7看到，該方法的等勢線十分有序，很好的結合了雙線性和雙立方方法的優點。

本領域的普通技術人員將會意識到，這里所述的實施例是為了幫助讀者理解本發明的原理，應被理解為本發明的保護范圍并不局限于這樣的特別陳述和實施例。本領域的普通技術人員可以根據本發明公開的這些技術啟示做出各種不脫離本發明實質的其它各種具體變形和組合，這些變形和組合仍然在本發明的保護范圍內。